Треугольная алгебра для самых маленьких

Алгебраического утра, многоуважаемые полиномы!
Любите ли вы алгебру так, как люблю ее я?
Конечно нет, что за вопрос, кто ее вообще любит? Тем не менее, те, кто остановился в изучении алгебры на школьной программе, обычно слабо представляют, как часто алгебра применяется в жизни. Просто они это не считают алгеброй, а между тем, алгебра - один из самых проработанных, стройных и красивых разделов математики, изумительное дитя человеческого гения.
Ладно-ладно, понимаю, лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать, какая девушка красивая. Поэтому, предлагаю познакомиться с ней поближе, вдруг понравится?

Что в имени твоем?

Ты думаешь, что алгебра про уравнения? Про квадратные и кубические многочлены? Про ночные бдения с калькулятором, и бесконечные цифры-цифры-цифры? 

Ты никогда не ошибался так сильно, как сейчас, друг мой!

Алгебра - девушка воздушная и вспоминать при ней приземленные числа и калькуляции недостойно джентльмена. 

Алгебра изучает общие законы операций над произвольными предметами. Если ты утром надеваешь рубашку, а потом пальто - в каком порядке будешь снимать? 

Поздравляю, ты только-что решил алгебраическое уравнение в уме. 

Да-да, вот такая она, Алгебра, скромная, тихая и неприметная красавица, но она всегда рядом=) Цени ее близость))

Треугольная алгебра

Рассмотрим равносторонний треугольник на плоскости. Назовем его вершины A, B и C. Вот такой он, наш треугольник.

Казалось-бы, что может быть интересного в таком треугольнике? Однако, давайте повернем его на 120° против часовой стрелки. Теперь треугольник будет выглядеть так:

Обозначим этот поворот на 120° цифрой 1. Теперь повернем первоначальный треугольник на 240° против часовой стрелки. Получится:

Обозначим поворот треугольника на 240° против часовой стрелки цифрой 2. Ну и наконец, если повернуть треугольник на 360°, то он не изменится, поэтому такой поворот обозначим цифрой 0.
Теперь договоримся, что если мы делаем некий поворот a, а потом поворот b, то результат поворота обозначим a + b, например поворот сначала на 120°, а потом на 240° будет выглядеть как 1 + 2.
Составим таблицу сложения всех известных нам поворотов:

Треугольные уравнения

Откуда возникают уравнения? Уравнения возникают когда ты знаешь, что должно в итоге получиться, но не знаешь как. И очень хочешь узнать)))

Решим простую задачу: треугольник повернули 2 раза на 240°, а потом еще один раз так, что он оказался в первоначальном положении. Вопрос - как его повернули в последний раз?

Обозначим последний поворот буквой x, тогда получим уравнение:

2 + 2 + x = 0

Поскольку по таблице сложения 2 + 2 = 1, получим уравнение: 

1 + x = 0

Посмотрим внимательно в нашу таблицу: 0 можно получить только в трех случаях:

0 + 0 = 0
1 + 2 = 0
2 + 1 = 0

Сравнивая 1 + x и 1 + 2, понимаем, что 

x = 2

то есть, после двух поворотов на 240°, нужно повернуть еще на 240°, чтобы вернуться в исходное положение. Ура!

Поверни меня обратно!

Пусть мы повернули треугольник. И хотим его вернуть в исходное положение. Для всех ли поворотов существует такой - обратный поворот?

Поскольку в результате сложения поворотов, согласно нашей таблице, получаются только повороты 0, 1 или 2, достаточно решить 3 уравнения: 

x + 0 = 0

x + 1 = 0

x + 2 = 0

Перебирая значения x, легко понять, что:

x = 0

x = 2

x = 1

Обозначим знаком '-' поворот, обратный данному, то есть:

Если x + 0 = 0, то x = -0

Если x + 1 = 0, то x = -1

Если x + 2 = 0, то x = -2

Тогда, очевидно, что для каждого поворота существует обратный:

-0 = 0

-1 = 2

-2 = 1

Что это значит?

Тех, кто дочитал до этого места, поздравляю: вы математики! А если точнее, вы занимались высшей алгеброй, теорией групп. И теперь можете не рассказывать друзьям, мол, один разик - не математик! Пути назад нет! Вот, почитайте. А вы думали, как в секты попадают?=) 

До новых встреч и осторожнее!!

Физику где-нибудь не подцепите=)